矩阵论练习与答案 Essay

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习 题 一 1. 设[pic]为的任一特征值,则因 [pic] 为A[pic]O 的特征值, 故[pic]. 即 [pic]=0或2. 2. A~B, C~D时, 分别存在可逆矩阵P和Q, 使得 P[pic]AP=B, Q[pic]CQ=D.令 T=[pic] 则 T是可逆矩阵,且 T[pic][pic]T=[pic]=[pic] 3. 设[pic]是对应于特征值[pic]的特征向量, 则 A[pic]=[pic][pic], 用[pic]左乘得 [pic].即 [pic] 故 [pic]是A的特征值, i=1,2,[pic]n. 4. (1) 可以. [pic]=[pic], [pic][pic], [pic]. (2) 不可以. (3) [pic], [pic]. 5. (1) A的特征值是0, 1, 2. 故[pic]=-(b-a)[pic]=0. 从而 b=a.又 [pic]=[pic] 将[pic]=1, 2 代入上式求得 A=0. (2) P =[pic]. 6. [pic]=[pic], A有特征值 2, 2, -1. [pic]=2所对应的方程组 (2I-A)x=0 有解向量 p[pic]=[pic], p[pic]=[pic] [pic]=-1所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 p[pic]=[pic] 令 P=(p[pic]p[pic]p[pic])=[pic], 则 P[pic]=[pic]. 于是有 A[pic]=P[pic]P[pic]=[pic]. 7. (1)[pic]=[pic]=D[pic]([pic]), [pic]I-A有2阶子式 [pic]=[pic]-4 [pic]-4不是D[pic]([pic])的因子, 所以D[pic]([pic])=D[pic]([pic])=1, A的初等因子为[pic]-1, [pic]. A的 Jordan标准形为 J =[pic] 设A的相似变换矩阵为P=(p[pic],p[pic],p[pic]), 则由AP=PJ得[pic] [pic] 解出 P=[pic]; (2) 因为[pic] [pic],故 A~J=[pic] 设变换矩阵为 P=([pic]), 则 [pic] [pic]P=[pic] (3) [pic] [pic] [pic].A的不变因子是 [pic][pic] [pic] [pic] A~J=[pic] 因为A可对角化,可分别求出特征值-1,2所对应的三个线性无关的特征向量:[pic] 当[pic]=-1时,解方程组 [pic]求得两个线性无关的特征向量 [pic] [pic] 当[pic]=2时,解方程组 [pic]得 [pic], P=[pic] (4) 因[pic]~[pic], 故 A~J=[pic] 设变换矩阵为P=[pic], 则 [pic] [pic]是线性方程组 [pic]的解向量,此方程仴的一般解形为 p=[pic] 取 [pic], [pic] 为求滿足方程 [pic]的解向量[pic], 再取 [pic] 根据 [pic]~[pic] 由此可得 s=t, 从而向量 [pic]的坐标应満足方程 [pic] 取 [pic], 最后得

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